Achilles und die Schildkröte: ein falsches Urteil, kein Paradoxon

Es ist Zeit, dass man die "Achilles und die Schildkröte" Erzählung als falsches Urteil, als Fehlschluss und nicht als Trugschluss, als Paradoxon auffasst.

Im „Jahr der Mathematik“ 2008 erschien im Internet folgende Erzählung:

„Man sollte den Dingen immer genau auf den Grund gehen. Die Geschichte von Zenon von Elea (ca. 495-430 v. Chr.) schildert einen unglaublichen Wettkampf zwischen Achilles (dem schnellsten aller Läufer) und einer Schildkröte. Das Panzertier bittet den Athleten um einen kleinen Vorsprung: 100 Fuß. Für Achilles kein Problem - das habe er in kürzester Zeit aufgeholt! Richtig, so die Schildkröte, doch in dieser Zeit sei sie selbst ja wieder ein Stück weiter: 10 Fuß. Auch diese kurze Distanz hole er ja schnell auf, so der Läufer. Doch die Schildkröte weiß, dass sie auch dann wieder ein Stück weiter ist: 1 Fuß. Achilles ist genervt und beschimpft diese Rechnerei als lächerlich, aber die Schildkröte lässt sich nicht beirren. Sie sei immer ein kleines bisschen im Vorsprung, zwar immer weniger, aber doch immer ein Zehntel weiter. Absurd? Überholt wird die Schildkröte letztendlich bei 111,111 ... Fuß.“

Es ist die Erzählung eines Mathematikers, der meint die Absurdität gelöst zu haben. Gehen wir nun den Dingen genau auf den Grund:

 "Überholt wird die Schildkröte letztendlich bei 111,111 ... Fuß.“ Die drei Punkte sollen doch andeuten, dass es kein endlich - kein Ende - gibt. Das ist eine unverständliche Aussage, lieber Mathematiker! Und was bedeuten die drei Einser nach dem Komma? Es gibt nur die Maßeinheit Fuß, ein Zehntel etc. sind nicht vereinbart.

Die unendliche Darstellung 111,111... ist im Dezimalsystem geschrieben. Die Zahl um die es hier eigentlich geht ist die Bruchzahl 1000:9, die eine endliche Darstellung ist. Wird diese Zahl im 9-er Stellenwertsystem geschrieben, so hat sie ebenfalls eine endliche Darstellung: 133,1. Die unendliche Darstellung der Zahl deutet darauf hin, dass die Maßeinheit 1 Fuß nicht kompatibel mit allen Strecken im Kontext ist. Wie man auf 1000 Neuntel kommt folgt weiter hinten im Manuskript.

Da Zenon sich auf die gelaufenen Strecken bezieht, geht es nicht mehr um Bewegung, sondern um die Spuren, welche die beiden erzeugen, nur diese werden verglichen. „Richtig, so die Schildkröte, doch in dieser Zeit sei sie selbst ja wieder ein Stück weiter: 10 Fuß.“ Achilles runzelt die Stirn: „Warum 10 Fuß und nicht 6 Fuß? Müssten wir nicht zuerst gegeneinander laufen, um festzustellen, wievielmal (bzw. um wieviel) schneller ich bin? Dann könnten wir von den erreichten Orten A₁ und S₁ zurücklaufen und würden gleichzeitig an unserer gemeinsamen Startlinie ankommen – dort würde ich dich einholen. Achilles schüttelt den Kopf: „So geht das nicht, liebe Schildkröte. Erzähl mir keine Märchen.

Ein Physiker würde sagen: Ich vergleiche die beiden voneinander unabhängigen Bewegungen v_At und v_St und nicht die Spuren AA₁ und SS₁.

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Zenons berühmte Er-Zählung wurde über ein Jahrhundert lang mündlich weitergegeben, bevor Aristoteles (das Denken der beiden war da schon verschieden) sie aufschrieb. Seitdem wird sie immer weitererzählt, kommentiert, widerlegt. Man muss sich vergegenwärtigen: In der Antike standen sich sowohl Wissen als auch Verständnis erst am Anfang. Menschen konnten tun, was man ihnen sagte – „Geh schneller“ -, ohne Begriffe zu besitzen, die das „Wie schnell?“ oder „Wie viel schneller?“ überhaupt erst ermöglichen. Fragen stellen ist vielleicht das, was uns am deutlichsten von anderen Lebewesen unterscheidet.

Heute im Jahre 2026, herrscht noch immer keine Einigkeit: Philosophen haben keine Lösung, nur die Mathematiker meinen eine Lösung zu haben und die Physiker äußern sich nicht dazu in ihren Schul-Lehrbüchern.   

Im Folgenden wird eine begriffsbezogene (philosophische) Widerlegung, des ursprünglichen von Aristoteles (-384 bis -322) übermittelten Wortlautes erbracht, gefolgt von einer Kritik der mathematischen Lösung, die im Internet weit verbreitet ist.

„Vier aber sind Zenons Sätze über Bewegung, die in Schwierigkeiten verwickeln die Lösenden. Der zweite, der sogenannte Achille. Er besteht darin, dass das Langsamere nie eingeholt werden wird im Laufen von dem Schnelleren. Denn vorher muss dahin kommen das Verfolgende, wovon auslief das Fliehende: sodass stets etwas voraushaben muss das Langsamere.“  (www.zeno.org Aristoteles Physik 6. Buch 9. Capitel) Und eine 2. Übersetzung:

„Das zweite (Argument) ist unter dem Namen "Achilleus" bekannt. Es lautet: Das Langsamste (die Schildkröte) wird in seinem Lauf nie vom Schnellsten eingeholt werden. Denn es ist notwendig, dass das Verfolgende vorher dort ankommt, von wo das Fliehende eben weggegangen ist, so dass notwendig das Langsamste immer wieder einen gewissen Vorsprung hat.“ (Aristoteles, Physik VI, 239 b 14 ff.) Notwendig, wenn sie auf einer Geraden laufen, aber nicht hinreichend.

Bemerkung: Der Wortlaut enthält keine Maßzahlen: die Begriffe Laufweg und Laufzeit sind nicht quantifiziert. Das Einholen (wann - wo) als Voraussage kann nicht erfüllt werden. 

Mit „dahin kommen das Verfolgende, wovon auslief das Fliehende“, stellt Zenon eine Beziehung zwischen einer Bewegung: Verfolgende und einem Ort: wovon auslief her - der unbeweglich ist, was ein grober Denkfehler ist: die Orte laufen doch nicht davon. Er muss eine Beziehung zwischen den sich Bewegenden finden bzw. angeben und dafür eignet sich ihr Abstand, welcher „mitläuft“ und dabei stetig kleiner wird, wie schnell sich der Abstand dann verkleinert, hängt davon ab, wie schnell sich Achilles der Schildkröte nähert, dies kann der Physiker berechnen, wenn er die jeweiligen Geschwindigkeiten der Läufer kennt: v_AS = v_A – v_S. Dann kann er auch die Einholdauer mit t = Abstand der Startorte ÷ (v_A - v_S) berechnen.

Und, was versteht Zenon unter vorher, was für ihn der Grund ist, dass Achilles die Schildkröte nicht einholen kann? Soll das nicht bedeuten, dass es noch dauert, bis Achilles die Schildkröte einholen wird? Die Frage wäre dann: Wie lange er noch zu laufen hat bis er sie eingeholt haben wird. Die Frage wie weit sie laufen bis sie einander treffen, ist nicht primär. Das ganzheitliche Begriffspaar (vorher - nachher) bezieht sich auf die ganze Einholzeit, wiederholt Zenon den Denkansatz zum zweiten Male bei wovon auslief, so ist das nicht mehr die ganze Einholzeit und man spricht dann von einer anderen Bewegung, getrennt von der ursprünglichen. Wenn man die Einholzeit an einer bestimmten Stelle des Weges in (vorher - nachher) einteilt, so darf man nicht weiter nachher in (vorher - nachher) einteilen – was Zenon offensichtlich tut. Der vorher-Gedanke ist für jeden Ort denkbar an dem beide vorbeilaufen, er teilt aber immer die ganze Einholzeit ein z. B. (2 - 8) oder (3 - 7) für eine Einholzeit von 10 Zeiteinheiten. Wenn in einem Kontext über vorher eine Beziehung erstellt wird, so muss auch für nachher eine angegeben werden: (vorher - wovon auslief) und (erst nachher - eingeholt). Dem Schnelleren wird doch Achilles zugeordnet und dem Langsameren die Schildkröte.

Unter eingeholt versteht Zenon offenbar, dass es keinen Ortsabstand mehr gibt (kein Voraushaben). Der Schnellere-Begriff wurde damals abgeleitet durch einen Wettlauf, wo beide von einer Startlinie gleichzeitig gestartet sind, d. h. schneller ist an einen gemeinsamen Startort gebunden, ist dieser verschieden hat der Begriff schneller keine Bedeutung mehr. Für einen Physiker bedeutet schneller, dass die Geschwindigkeit des Achilles größer als die der Schildkröte ist. Eine Stoppuhr gab es noch nicht und da die Laufzeit für beide gleich ist, ignoriert Zenon diese, Zenon und Aristoteles denken nur in Strecken. Man kann deshalb nur eine Gleichung mit Streckenlängen aufstellen: s_A = s_V + s_S. Die Längen der Einholstrecken können berechnet werden, nicht aber ihre Einholzeit, diese hängt von den jeweiligen Schnells (geschwind -igkeiten) ab und nicht von schneller.

Es war Galileo Galilei - 2000 Jahre danach -, der die richtige Zuordnung bei der Beschreibung einer linearen Fortbewegung erkannte: Laufzeit -> Laufstrecke, wobei die Laufzeit in gleichgroße Laufteile fortlaufend eingeteilt ist. Bei Zenon ist es: Laufstrecke -> Ort, also gleich zwei Denkfehler. Galilei gab auch als Erster eine Definition für eine konstante Fortbewegung: Ich nenne diejenige Bewegung gleichförmig, bei welcher die in irgendwelchen gleichen Zeiten vom Körper zurückgelegten Strecken unter einander gleich sind. Seine Beweisausführungen beruhen auf einem von ihm definierten geometrischen Axiomensystem. In seiner Axiomatik werden Laufzeit und die entsprechende Laufstrecken, als getrennte geometrische Strecken gedacht und gezeichnet (wie es der Mathematiker auch heute noch tut). Erst die grafische Darstellung im Zeit-Weg Diagramm oder die Formel v = s/t stellt die Ganzheit (Raum-Zeit) her. Geometrie ist keine Physik (die Physik benützt die Sprache der Mathematik, nur allein auf diese darf man sich nicht verlassen).

Es war Nikolaus von Oresme, der 300 Jahre vor Galilei ein Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm zur Darstellung von Bewegungen gezeichnet hat. Es ist die Grafik des Begriffstripel: [konstant-(beschleunigt-verzögert)].

                              

Fazit:

Achille ist ein Urteil mit falscher Zuordnung, dem Unverständnis von vorher und der Unkenntnis von schnell. Es ist kein Paradoxon und kein Trugschluss: es ist ein Fehlschluss.

Nach mehr als 2,5 Jahrtausend Jahren kann man sagen: Wenn die verwendeten Wörter und ihre Beziehungen zueinander in einem Kontext nicht verstanden werden, nützt eine fehlerfreie Logik nichts: „Zenon war ein schlauer Fuchs“; „Ein Fuchs hat 4 Beine; logische Schlussfolgerung: „Zenon hatte 4 Beine“ (Zufall: Zenon und Achilles haben 2 und die Schildkröte 4 Beine). Das ist ein Trugschluss, denn bei der Aussage: „Zenon war ein schlauer Fuchs“ bezieht man sich auf die Schlauheit eines Fuchses, Fuchs ist nicht wortwörtlich zu verstehen, es ist eine Metapher, was ein Spiel mit Worten ist (unsere Sprache ist voll bestückt damit).

Zenon muss sich auf den Abstand zwischen den Laufenden beziehen und nicht auf den der unbeweglichen Orte.

Eine andere Frage wäre: „Wenn Achilles die Schildkröte nicht einholen kann, weil er vorher an wovon auslief kommen muss, wie kommt er dann überhaupt an wovon auslief? Müsste er nicht vorher z. B. die halbe oder ein Drittel der Strecke bis dorthin zurücklegen?“ Die Antwort lautet:

Er wird vorher die eine Hälfte und nachher die andere Hälfte oder vorher ein Drittel und nachher zwei Drittel bzw. vorher zwei Drittel und nachher ein Drittel, gleichzeitig kann er nicht beide zurücklegen. Es geht um das ganzheitliche  Begriffstripel-Tripel: [gleichzeitig - (vorher - nachher)].

Zenons Antwort wäre sein sogenanntes „Dichotomie Paradoxon“: „Eine Bewegung kann es nicht geben, weil das Bewegende, ehe es sein Ziel erreicht, zuvor die Hälfte (des Weges) erreichen muss (...) Wenn man immer zuerst jeweils die Hälfte durchlaufen muss und die (Hälften) unendlich viele sind und man die unendliche Mannigfaltigkeit unmöglich bis ans Ziel durchlaufen kann (...), dann ist die Folge, dass man eine unendliche Zahl durchgezählt hat. Das ist zugegebenermaßen unmöglich.“ (Aristoteles Physik, VI 239 b 11f. und VIII, 263 a 5 ff.) Da ist es wieder das nicht verstandene Wort zuvor (synonym: vorher).  

Aristoteles sagt weiter: „Es ist aber dieser Satz der nämliche mit dem Zerspalten in zwei. Er unterscheidet sich nur in der Art des Teilens, indem er nicht in zwei (gleiche Teile) spaltet die angenommene Ausdehnung.“  Aristoteles meint, dass es bei Achille um Zerspalten von Strecken, die er Ausdehnungen nennt, geht. Man sollte aber einen Unterschied zwischen Teilen, Zerspalten und Einteilen machen. Teilen heißt: aus einer Strecke zwei oder mehrere Strecken erzeugen, während Einteilen ein Markierungsvorgang ist: der vor dem Teilen ausgeführt wird, wenn man nicht willkürlich teilen möchte.

Die Einteilungs-Erzählung bzw. die Berechnung der Länge der Einholstrecke

Eine ganze (natürliche) Zahl a ist n-mal größer als eine ganze Zahl b, mathematisch ausgedrückt: a = nb. Da es mir  um den Unterschied geht, frage ich: um wieviel ist a größer als b?

Berechnung: a - b = a - a : n = a(1 - 1 : n)

Der Begriff Länge ist nicht eindeutig. Teilt man eine Strecke in n >1 gleiche Teile ein, dann ist die Länge der Strecke n groß, wenn man einen Teil als Maßeinheit wählt. Die Maßeinheit ist frei wählbar.  

Gegeben ist nun eine Strecke AB. Diese wird in n gleiche Teile eingeteilt. DB sei ein Teil davon. Die Länge der Strecke AB sei a und die von DB sei b, daher a = nb. 

                                   

Hier frage ich auch um wieviel länger (größer) AB als DB ist. Das Ergebnis ist bekannt: a(1 - 1 : n). Dies ist zugleich die Länge der Strecke AD.

In Achille ist AD und n bekannt, berechnet soll jetzt a werden. Die Länge von AD sei d, der Abstand der Startorte. Berechnung: d = a(1 - 1 ÷ n), daher a = d ÷ (1 - 1 ÷ n). Es ist die Gleichung, welche der Mathematiker mit der Grenzwertberechnung (mit Tricks) errechnet. 

Ist d durch  (1 - 1 ÷ n) teilbar, erhält man eine ganze Zahl, alle drei Strecken sind messbar, anderenfalls sind sie inkommensurabel: Es bleibt eine Bruchzahl. Diese kann in einem Stellenwertsystem für Zahlen geschrieben werden, dann erhält man je nachdem, welches die Basis des Systems ist eine endliche- oder unendliche Darstellung. 

Beispiele: aus n = 10   und d = 100 LE, folgt a = 1000 ÷ 9; AB und DB sind inkommensurabel mit AD. 

Für n = 10 und d = 90 LE, folgt a = 100 LE; alle drei Strecken sind kommensurabel.

Bemerkung: Bei drei Strecken, wo die Summe zweier Längen größer ist als die dritte, wie beim rechtwinkligen Dreieck, haben wir ja auch die beiden Fälle messbar und unmessbar. Doch unterscheiden sich die unendlichen Darstellungen, da es hier keine periodische Wiederholungen der Ziffern gibt. 

Fazit: Es gibt keine Längenmaßeinheit für alle erdenkbaren Strecken.

Die Teilungs-Erzählung 

Teilt man eine Strecke, so kann man die beiden getrennten Strecken auf drei Arten räumlich anordnen: getrennt bleiben mit  und ohne Abstand und verbunden, es ist die Ordnung von Nebeneinander:

(verbunden ↔ getrennt) bzw. [verbunden ↔ (mit Abstand ↔ ohne Abstand)]

Ohne Abstand ist gleichbedeutend mit Berühren, mit Abstand wird manchmal noch in zwei eingeteilt: nah und fern.

Zwei Stäbe kann man verbinden (verschrauben, verkleben, verschweißen) oder nebeneinander: berührend und entfernt betrachten. Will man Strecken (Abstraktion der Stäbe) grafisch abbilden, muss das bemerkbar sein. 

Für eine Weg-Strecke AB

Das Wort Punkt kommt von Punktieren (einem Tun), damit wird eine Marke gesetzt. A, B, M, M₁ und M₂ sing Markierungen, als solche nimmt man an, dass sie keine Ausdehnung haben. In der Realität ist das anders.

Getrennte kann man Zählen. Verbundene, wie Strecken, kann man auch zählen, wenn sie getrennt sind. Sie selbst können (nur) gemessen werden.

Aristoteles sagte zu seinem Lehrer Platon (-428 bis -348): „Die reine Mathematik wird uns nicht zum wahren Wissen führen. Alle Wissenschaft muss sich auf Beobachtung stützen“. Leider hat er sich bei Achille nicht darangehalten. Es gibt 2 Möglichkeiten die Fortbewegung (wie beim Licht) eines Zweibeiners, wie Achilles nun mal real ist zu beschreiben: als Teilchenbewegung in Bezug auf den Oberkörper oder als Wellenbewegung bezüglich der beiden Beine: bei diesen kann man eine Amplitude, eine Wellenlänge und eine Frequenz beim Rennen erkennen. Ein Zweibeiner kann sich auf drei Arten fortbewegen: Springen, Schrittweise und stetig, kontinuierlich (Beine wechseln sich bei der Berührung des Bodens). Aristoteles hat eigentlich erkannt, dass Achilles keine stetige, kontinuierliche Bewegung ausführt, sondern die Schrittweise, bei dieser kann man die „Ruhe-Zeit“ zwischen den einzelnen Schritten beliebig verlängern.

Kritik der mathematischen Lösung

Der Denkfehler der mathematischen Lösung besteht darin, dass sie getrennt Laufstrecke und Laufzeit berechnet und die falsche Zuordnung Zenons benützt. Die Laufzeit hängt hier von der Laufstrecke ab: den 100 + 10 + 1 +… Fuß werden 10 + 1+ 0,1 + … Sekunden zugeordnet. So entsteht ein direktes Verhältnis, was im Widerspruch zu schneller steht, wo das Verhältnis indirekt ist. Es ist ein rein formales Vorgehen. Man erkennt nicht, dass es bei Achille um eine Einteilung geht und nicht um Bewegungen (reale oder gedachte). 

Allgemein: Schneller-langsamer sind keine eindeutigen Begriffe, deshalb kann die Lösung auch nur mehrdeutig sein. Man erhält zwar eine eindeutige Einholstrecke, die Einholzeit ist aber beliebig, nicht eindeutig. Diese hängt vom Begriff schnell und nicht von schneller ab. Mathematiker stellen nicht die Frage: um wieviel schneller Achilles läuft, sondern nur wievielmal. Allein deshalb wäre die mathematische Lösung nur eine "halbe" Lösung.

Bemerkungen zu v_AS = v_A – v_S bzw. absolut und relativ

V_AS nannte man früher relative- und v_A und v_S absolute Geschwindigkeiten: eine unglückliche Bezeichnung.

Sucht man nach der Bedeutung der beiden Wörter absolut und relativ, so wird gesagt: Der grundlegende Unterschied liegt darin, ob etwas für sich alleinsteht oder mit etwas anderem verglichen wird. „Für sich alleinsteht“, heißt beziehungslos: dann aber gibt es kein Verständnis. Die Wörter unterscheiden sic, das ist aber auch alles, was ich sagen kann.

Kinematik und Inertialsystem beziehen sich auf Körper mit Abstand. V_A und v_S sind Eigengeschwindigkeiten der sich bewegenden Körper in einem (Raum-Zeit)-Koordinaten-System. Und, v_A – v_S = v_AS ist die Geschwindigkeit mit der sich die Körper voneinander entfernen oder nähern, wenn sie sich in die gleiche Richtung bewegen. Bewegen sie sich in entgegengesetzte Richtungen, dann ist v_AS = v_A + v_S.

Für den Fall ohne Abstand - Berührung - gibt es zwei Möglichkeiten: elastische Körper und verformbare bzw. zerbrechliche. Allein für elastische bzw. ideale starre Körper gilt die vektorielle Addition.

Kritik der physikalischen Sprache

Die Physiker sprechen von einer gerichteten Geschwindigkeit, was falsch ist, denn die Bewegung hat eine Richtung, die Geschwindigkeit ist eine skalare Größe, welche sich auf Maße bezieht. Ein Vektor beschreibt eine gerade Fort-Bewegung mit Richtung und Maß. Warum spricht man bei einer konstanten Bewegung von gleichförmiger geradliniger Bewegung  und nicht von gleichmäßiger gradlinigen Bewegung. Nur weil G. Galilei die so nannte, muss man nicht dabei bleiben. 

                           

Achille hat uns in die Gefilde der Mathematik und Physik geführt, kehren wir zurück zu Zenon.

Zenon war Schüler von Parmenides (-515 - bis -460), dieser vertrat die Auffassung, dass Bewegung eine Illusion sei – dass es in Wahrheit nur das Unveränderliche gibt. Für diese Sicht wurde er belächelt, gleichzeitig lehrte Heraklit (-535 bis -475) das Komplement: panta rhei – alles fließt, alles ist Veränderung. Zenon zeigt, dass auch Heraklit in Schwierigkeiten gerät, wenn er ausschließlich Veränderung gelten lässt. Denn in Zenons Argumentation verändern sich immer die Laufstrecken und ihre Laufzeiten. Es geht somit um das komplementäre Begriffspaar (Veränderung ↔ Unveränderung). Eine Unveränderung im Veränderlichen erzielt man, wenn man das Veränderliche fortlaufend in gleichgroße Teile einteilt. 

Möchte man eine Veränderung beschreiben, so geht das nicht ohne Begriffe des Unveränderlichen.

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